On considère une marche aléatoire en milieu aléatoire sur des arbres et on se concentre sur le cas frontière du potentiel branchant sous-jacent. La trace $R_n$ de la marche est le nombre de sommets distincts visités par cette dernière avant l'instant $n$. Il est connu que $R_n$ se comporte en $n/ \log n$ avec grande probabilité. On parle de trace contrainte lorsque les points comptés sont soumis à des contraintes à la fois sur les trajectoires de la marche et sur celles du potentiel branchant sous-jacent. On présentera des résultats asympotitques généraux ainsi que des exemples explicites pour certaines traces contraintes. 

Exposé basé sur un travail avec Pierre Andreoletti.